[ 등하불명(燈下不明) 수학 #3 ] 케일리-해밀턴 정리와 유리함수 합성의 주기성

행렬과 2차원 유리함수의 관련성(1)

행렬은 굉장히 편리한 정보처리 방법이다. 지금은 고등학교 교육과정에서 빠져버린 행렬을 간접적으로나마 접해볼 수 있는 대표적인 단원이 수학 (하)의 '유리함수' 단원이다. 유리함수 특히, 고등과정에서 의미하는 일차함수/일차함수 꼴의 유리함수는 \(\frac{ax+b}{cx+d}\)로 나타내어진다. 여기에서 담고 있는 정보는 \(a\),\(b\),\(c\),\(d\) 총 4개인데 이를 행렬의 꼴로 간단하게 옮겨적는다면, \(\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}\)와 같이 유리함수를 새로이 정의해볼 수 있겠다.
 또한, 합성함수를 행렬곱으로써 표현이 가능하다. 이는 선형사상에 대한 기본적인 이해가 동반되어야 이해가 가능하다. 선형사상, 선형변환이란 \(V\)라는 \(n\)차원 벡터를 \(W\)라는 \(m\)차원 벡터로 옮기는 선형인 변환 \(L\)을 뜻한다. \(L(v+w) = L(v) + L(w)\)와\(L(av) = aL(v)\)를 만족시킬 때 비로서 선형변환 \(L : V ->W\)로 표현할 수 있다. 또한, 차원이 다른 두 벡터에 대한 선형사상을 표현할 수 있는 방법이 곧 행렬이기도 하다. 하지만, 우리는 미지수의 차수가 1인 유리함수 는 선형변환의 조건을 모두 만족하고 2차원 공간끼리에서의 변환이므로 우리가 알고 있는 \(y\)\(=\) (\(x\)에 대한 식) 또는 그 식의 계수행렬을 통해 유리함수를 선형변환형태의 식으로 표현할 수 있다. 우리가 알고 있는 합성함수는 함수\( f\)와\( g\)에 대해 연속적으로 함수를 취해준 것이다. 예를 들면, 합성함수 \(f\circ g\)는 \(x\)를 함수\(g\)에 넣은 값을 구하고 이를 다시 \(f\)에 넣은 값을 구하면 함숫값을 구할 수 있다는 것이다. 즉, 행렬로 표현했을 때 미지수의 차수가 1인 유리식으로 표현되는 함수의 선형변환의 형태로 표현했을 때, 변환을 연속적으로 취한 것 즉, 행렬곱이 2차원에서 2차원으로의 공간에서는 곧 합성함수라는 것이다.

행렬과 2차원 유리함수의 관련성(2)

일차함수/일차함수 꼴 유리함수를 \(2\times2\) 행렬로 나타낼 수 있다는 사실은 많이들 알 것이다. 또한, 함성함수를 행렬곱으로 역함수를 역행렬으로 나타낼 수 있다는 사실도 자명하다. 그런데 이러한 기본적인 사실들을 알아도 합성함수의 주기성을 행렬을 통해 아주 간편하게 알아낼 수 있는 방법을 모르는 사람들이 꽤나 많을 것이다. 예를 들어, 고등학교 수학 (하)의 대표적인 문제 중에 유리함수 \(f\) 를 주고 \(f^{2020}\)와 같은 값을 구하라는 것을 많이들 보았을 것이다. 이런 문제들은 케일리-해밀턴 정리를 이용하여 간단하게 해결 가능하다.

행렬 항등식, 케일리-해밀턴 정리

케일리-해밀턴 정리는 정사각행렬에 대해 성립하는 항등식으로 임의의 정사각행렬\(A\)에 대해 특성다항식 \(\det(xI-A)\)를 생각할 때, \(f(A)\)는 영행렬이 된다는 아주 자명한 식이다.
물론 이에 대한 증명은 상당히 어렵고 선형대수학의 기본적인 내용들을 알아야 가능하다. 하지만 이 칼럼에서는  \(2\times2\)행렬만을 다루기 때문에  임의의 정사각행렬에 대한 케일리-해밀턴 정리의 증명은 담지 않겠다. 하지만 여기에서 다룰  2x2행렬 \(\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}\)에서 성립하는 항등식은 2차 행렬 다항식으로 표현되고, 이는 간단한 계산을 통해서도 증명할 수 있는 항등식이다. 따라서 이 또한 증명을 담지는 않겠다.
그리고 그 꼴은 \(A^{2}+(a-d)A+(ad-bc)I=0\)이다.

케일리-해밀턴 정리의 적용

단위행렬 \(I\)는 \(y=x\)를 의미한다는 것을 알 것이다. 그렇다면 어떤 조건을 만족할 때 주기성을 어떻게 띄는지 확인해보아야할 것이다. 결론부터 말하자면 “일차함수/일차함수 꼴 유리함수 합성은 기본적으로 2, 3주기 혹은 6주기가 가능하고, 더 복잡한 형태로도 가능하다.” 이는 케일리-헤밀턴 정리가 행렬 \(A\)에 대한 2차 항등식이기 때문이라고 할 수 있는데, 이 항등식을 변형하여 \(A^{n}=I\) 혹은 \(A^{n}=-I\)의 꼴을 만들 때 두 등식의 좌변을 케일리-해밀턴의 2차 항등식으로 인수분해하면 일반적으로 그러하게  정해지기 때문이다.

왜 그렇게 정해지는지 보자. 먼저, 가장 간단한 경우인 2주기일 때이다.  \(a+d=0, ad-bc=0\)일때에 2주기임이 쉽게 밝혀진다.

또한, \(P(A)=A^{n}-I=0\)의 식을 만족해야할 때, 이 행렬 다항식을 다항식으로 표현해서 \(n=3\)임을 밝힐 수 있다.\(P(a)=a^{n}-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+1)\)로 바꾸었을 때 케일리-헤밀턴 정리에 의한 2차 다항식의 꼴이 뒷항이 되어 2차식이 될 때 즉, \(a+d=1, ad-bc=1\)일 때 \(n=3\)일 때 \(A^{3}=I\)임이 밝혀진다. 같은 논리로 \(A^{n}=-I\)일 때에도 \(n=3\)임을 밝힐 수 있다.

\(A^{n}=-I\)에서 양변을 제곱하면 \(A^{6}=I^{2}=I\)가 되어 결론적으로 “일차함수/일차함수 꼴 유리함수 합성은 기본적으로 2,3주기 혹은 6주기가 가능하다.”

결론

오늘 알아본 내용을 간단하게 정리해보자. 우리는 교육과정 상에서 유리함수와 그 합성과 연산을 따로 배우면서 그저 계산만 하면 되는 단원이라고 단정지어왔다. 하지만, 계산을 효율적으로 하기 위해 행렬과 연관시킬 수 있고, 그 속에서 케일리-해밀턴 정리를 이용하여 주기성까지 알아낼 수 있다는 사실을 알게되었다.본 기사에서는 행렬을 연산으로써만 다루었지만 행렬에 있어 연산의 편리성은 극히 일부에 불과하다. 선형대수학의 세계로 온다면 훨씬 신기한 수학의 세계를 맛볼 수 있을 것이다.