축구공에 숨은 수학의 비밀 - 아르키메데스 다면체
축구공은 정오각형과 정육각형으로 이루어져 있다. 그렇다면 이 정오각형과 정육각형은 각각 몇 개일까?
정답은 오각형 12개와 육각형 20개이다. 사진의 축구공은 가장 전형적인 디자인을 보여주고 있으며 12개의 검은색 오각형과 20개의 흰색 육각형 조각들로 이루어져 있다. 이 축구공은 최초의 피파 공인구로 아디다스가 1970년 멕시코 월드컵을 위하여 제작하였다. 이 축구공에 처음으로 32면체 준정다면체 디자인이 도입 되었고 그 이후 이 디자인은 축구공의 기본 디자인이 된다. 1970년 월드컵이 최초로 위성 생중계되었기에 '텔레비전 속의 별' 이라는 뜻의 '텔스타' 라는 이름을 붙였다고 한다. [1]
이 형태는 정이십면체의 꼭지점을 각 모서리의 1/3 되는 지점에서 깍아서 만들 수 있다. [2]
깍은 정이십면체가 축구공에서만 보이는 것은 아니다. 1985년 흑연, 다이아몬드 외에 탄소로만 이루어진 새로운 물질이 발견되었다. 헬륨 가스속에서 흑연에 레이저를 쏘아 만들어진 이 물질은 탄소원자 60개로이뤄진. C60 분자다. 대 자연은 탄소 원자 60개를 어떻게 배열하는 것이 가장 안정적이라고 디자인했을까? 바로 축구공과 같다. C60은 축구공의60개 꼭지점 위치에 탄소 원자가 하나씩 자리한 모양으로 인간이 축구공의 디자인을 발견하기 전에 우주의 시작부터 존재하고 있었던 것이다. 이 분자는 그 모양 때문에 'bucky ball(축구공)' 또는 과학자의 축구공 이라는 별명을 가지고 있다. 수 없이 발로 차고 헤딩을 해도 끄떡없는 축구공처럼 C60도 대단히 높은 온도와 압력을 견딜 수 있다. 다이아몬드만큼 강하면서 미끄러운 성질이 있어 윤활제로 사용되고 인체에 독성이 없어 체내 운반체로 이용하려는 연구가 진행 중이라고 한다. C60을 발견한 화학자들은(Kroto 와 Smally) 그 공로로 96년 노벨 화학상을 받았다. 이 발견자들이 붙인 분자의 이름은 플러린(Fullerene) 인데 이는 리처드 벅민스터 풀러 (1895-1983) 라는 건축가의 이름을 따라 붙인 것이다. 풀러가 디자인한 지오데식 돔과 C60의 모양이 비슷하다고 그의 이름을 딴 것이다. 그러나 엄밀히 말해 풀러린은 삼각형만으로 이뤄진 지오데식 돔과는 다르고, 축구공과 똑같이 생겼다. [3]
하지만 지오데식 돔과 축구공은 정 20면체를 기본으로 하고 있다는 점은 동일하다. [4]
축구공의 기본 바탕인 정 20면체는 또 우리를 괴롭히는 코로나 바이러스의 기본 구조이기도 하다. 정20면체는 정다면체 중 면의 수가 가장 많고, 구에 가까운 안정된 구조다. 바이러스의 유전물질을 둘러싼 단백질 껍데기(capsid)가 정20면체 모양을 띠는 것이다. 이러한 구조 덕분에 외부 충격으로부터 유전물질을 효과적으로 보호하고 증식할 수 있다. [5][6]
축구공과 같은 깍은 정이십면체는 아르키메데스 다면체중 하나이다. 아르키메데스 다면체는 둘 또는 그 이상의 정다각형으로 구성된 면을 가지고 있다. 한편 바이러스 외피 처럼 모두 같은 종류의 정다각형으로 구성된 입체는 플라톤 다면체라고 한다. [7]
플라톤 다면체는 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어져 있으며, 각 꼭짓점에서 만나는 면의 개수가 같은 도형을 말한다.삼각형으로 구성된 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정이십면체 그리고 5각형으로 구성된 정12면체의 5개뿐이다. [8]
아르키메데스의 다면체는 두 종류 이상의 정다각형으로 이루어져 있으며, 각 꼭짓점에 모인 면이 배치가 서로 같은 볼록 다면체로, 각기둥과 엇각기둥을 제외한 다면체이다. 13 종류(대칭인 모양을 따로 세면 15 종류)의 다면체가 있다. 그리고 타일링에도 적용시킨다면 7개가 더 있어서 총 20개 있다.[9]
이와 같이 축구공에 숨은 과학과 수학의 이야기를 찾아 보았다. 축구공은 그냥 공이 아니었다.
[1] https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%95%84%EB%94%94%EB%8B%A4%EC%8A%A4_%ED%85%94%EC%8A%A4%ED%83%80위키백과 텔스타
[2] https://brunch.co.kr/@summer9461/48 브런치 아름다움은 언제나 옳다
[3] https://m.cafe.daum.net/ambri/9rv1/899 미국의건축가 리처드 벅민스터 풀러 박경미(홍익대학교수학교육과교수)
[4] https://m.blog.naver.com/boram253/220592136450네이버 블로그 Boramful life
[5] https://bravo.etoday.co.kr/view/atc_view.php?varAtcId=10735 브라보마이라이프 이지혜 기자
[6] https://www.joongang.co.kr/article/150480#home [생활 속의 수학] 바이러스는 정다면체의 구조 업데이트 2003.04.10 10:30
[7] https://m.post.naver.com/viewer/postView.nhn?volumeNo=6218302&memberNo=253010 세상을 움직이는 수학개념100
[8] https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%95%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4 위키백과 정다면체
[9] https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%95%84%EB%A5%B4%ED%82%A4%EB%A9%94%EB%8D%B0%EC%8A%A4%EC%9D%98_%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4 위키백과 아르키메데스 다면체
그림 1. https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%95%84%EB%94%94%EB%8B%A4%EC%8A%A4_%ED%85%94%EC%8A%A4%ED%83%80위키백과 텔스타
그림 2. https://brunch.co.kr/@summer9461/48 브런치 아름다움은 언제나 옳다
그림 3. https://m.blog.naver.com/boram253/220592136450네이버 블로그 Boramful life
그림 4. http://hosunson.egloos.com/2900796정다면체와 바이러스의 기하학
그림 5. https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=zenhealing&logNo=20186752678 네이버블로그
그림 6. https://brunch.co.kr/@telle100/54 기원전 240년경,아르키메데스의 준정다면체(2)