들어가며

우리 중고등학교 교육과정에서 정수론은 아쉽게도(...) 크게 다루지 않는다.

정수론이라고 하면, 초등학교 때 배운 약수와 배수, 중학교 1학년 때 배우는 소인수분해나 유리수 이론 정도일 것이다. 중학교 졸업한 이후 접할 수 있는 정수론적 아이디어는 격자점을 세는 문제 정도에 그친다. 하지만 우리 생활에서 발견할 수 있는 수학 개념 중 정수론적인 것이 많고, 개인적으로 수학의 아름다움을 잘 나타내는 이론이 정수론이라고 생각한다. 그래서 앞으로 몇 주간 정수론의 핵심적인 아이디어 몇 가지를 소개하고자 한다.

이번 주에는 여러 이론을 소개하기에 앞서 정수론의 구조와 용어들에 대한 정의를 하고자 한다.

정수론의 구조

정수론에서는 너무 당연하게도 정수들이 가지는 특징을 다루는 학문이다. 이 때문에 정수론 책에는 유,무리수가 나오지 않을 것 같지만...몇 번 정도는 볼 수 있다. 하지만 대체로 이산적이고 깔끔한 정수만 다루기 때문에 공부하는 입장에서 짜증나는 일은 적다.

하지만 정수론이 존재할 수 있는 이유는 아이러니하게도 정수론에 존재하는 심각한 불규칙성이다. 그것은 바로 소수의 무한성과 불규칙성이다. 정수론에서는 소수를 다루는 일이 매우 중요하다. 모든 정수는 소수들의 곱 (소인수분해)로 표현할 수 있기 때문에 수의 기본 단위라고 할 수 있다. 화학자들이 원자를 다루듯이 정수론을 연구하는 수학자들은 소수를 연구하는 것이다. 소수는 소수이기 때문에 갖는 다양한 특징들이 있다. 이를 활용하여 문제를 풀이할 때도 소수를 기준으로 하고, 합성수에 대한 문제도 여러 소수들에 대한 문제로 바꾸면 쉽게 풀리는 경우가 많다.

그럼 이제 정수론의 구조에 대해 알아보자. 기초(학부)정수론에 대해서 논하자면, 정수론에서 다루는 것들은 다음과 같다;

소수들, 나누어 떨어지는 것들, 나누어 떨어지지 않는 것들 , 정수를 정의역으로 하는 함수들, 정수의 거듭제곱, 그리고 정수들에 대한 방정식.소수들에 대한 정수론은 소수들이 어떻게 분포하는지(알 수 없지만), 소수들이 갖는 성질은 무엇인지에 대한 분야이다. 특히, 소수만 만드는 함수를 만드려는 다양한 시도에 대해서도 다룬다.나누어 떨어지는 것들에 대한 정수론은 정수들 사이의 약배수 관계에 대한 것이다. 약배수, 최소공배수와 최대공약수는 중학교 때도 배우지만, 유클리드 호제법(Euclidean Algorithm)이라는 툴을 이용하면 두수의 최대공약수, 최소공배수 뿐만 아니라 디오판틴 방정식(Diophantine Equation) 같은 정수계수 부정방정식(Indeterminate Equation)들도 풀 수 있다.

그렇다면 나누어떨어지지 않는 것은 무엇인가? 정수론은 두 수의 최대공약수가 1인 상황, 즉 두 수가 서로소인 상황이나, 약배수가 아닌 두 수에 나눗셈 연산을 했을 때 생기는 나머지에 대해서도 다룬다. 몫보다도 나머지에 집중을 하게 되는데, 이를 잘 나타내기 위해 합동식(Congruence)이라는 것을 배우게 된다.

정수를 정의역으로 하는 함수에는 약수의 합, 곱, 개수 함수나 오일러 피 함수, 위수 등이 있다. 이 함수들과 앞서 말한 소수의 성질을 적절히 활용하면 정수의 거듭제곱의 차수를 낮출 수도 있고 정수들에 대한 방정식을 풀이할 수도 있다.

정수론의 기호

정수론의 주제로 무엇이 있는지 대략적으로 알아보았다면 이제는 정수론에서 사용하는 용어를 익히자. 참고로 갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei, 1564-1642)는 이런 말을 한 적이 있다.

자연은 하나의 방대한 백과사전이며 그 사전을 기술한 언어를 아는 사람만이 자연을 이해한다. 그 언어는 수학

정수론이라는 새로운 언어에 처음 접근하는 입장에서, 정수론의 알파벳이 무엇인지 익힐 필요가 있는 것이다.

나눗셈 기호

초등학교 수업시간에 다뤘던 것 같은 기억이 얼핏 있지만, 요즘은 또 기호는 배우지 않는다고 한다.

\(a, b \in \mathbb{Z}\)가 \(ac=b\)인 \(c \in \mathbb{z}\)가 존재하면 \(b\)는 \(a\)로 나누어 떨어진다고 하며 \[a|b\]로 표시한다. 이 때, \(a\)는 \(b\)의 약수(divisor) 혹은 인수(factor), **\(b\)는 \(a\)의 배수(multiple)**라고 한다. ^[1]

합동식 기호

합동식은 정수론에서 자주 사용하는 기호기 때문에 잘 알아둘 필요가 있다.
정수 \(m, b, c\)에 대해 \(m\)이 \(b-c\)를 나눈다면,
\[b \equiv c \ (\text{mod} \ m)\]라고 쓰고^[2] \(b\)와 \(c\)가 modulo \(m\)에서 합동이라고 한다. 이는 곧 \(b\)와 \(c\)가 \(m\)로 나눈 나머지가 같다는 의미이며, 이 기호 속에는 정수론에서 나머지를 중요시함이 내포되어 있다.

일반적으로 합동식은 등식에서 성립하는 거의 모든 성질들이 똑같이 작용하는데,
\[a \equiv b \ (\text{mod} \ m)\]이면, 임의의 정수 \(c\)에 대해
\[a+c \equiv b+c \ (\text{mod} \ m),\] \[ac \equiv bc \ (\text{mod} \ m)\]이 성립한다. 또, 임의의 자연수 \(n\)에 대해
\[a^n \equiv b^n \ (\text{mod} \ m)\]이 성립한다.

하지만,

가장 중요한 것은 임의의 \(c\)에 대해
\[{a \over c} \equiv {b \over c} \ (\text{mod} \ m)\]은 성립하지 않는 다는 것이다.위의 식이 성립할 \(c\)의 조건은 \(c\)가 \(m\)과 서로소라는 조건이 있어야 하고, 이 때 \(1 \over c\)는 분수를 의미 하는 것이 아니라 \(c\)의 잉여역수를 의미하는 것이다. 이에 관한 정리는 3장에서 다룬다.

끝으로

정수론의 세계는 일반적인 실수의 세계와 비슷하지만, 더 제한적이기 때문에 신기한 성질들이 많이 있다. 특히, 복소수로만 국한된 문제를 정수로 제한하면 여러 기술을 이용하여 풀 수 있는 경우가 많다. 앞으로의 여정에 함께 한다면, 정수론의 아름다움에 빠질 수 있을 것이다.

참고문헌