접촉평면의 기하학적 특징

서론

접촉평면을 곡선에 가장 가까운 평면으로 정의하는 대부분의 미적분학 교과서와 달리 김홍종의 미적분학1+에서는 접촉평면을 다음과 같이 먼저 정의한 이후 기하학적 특징으로써 곡선과 가장 가깝다고 정의한다.

안타깝게도 이'기하학적 특징'은 책에서는 별다른 증명 없이 넘어간다. 따라서 이런 사실을 수학적으로 증명해보도록 하겠다.

증명

곡선 \(X(t)\)와 가장 가까운 평면이 접촉평면임을 증명하면 된다.
우선 \(X(t)\)를 호의 길이로 재매개화 하자.즉, \(t=g(s)\), \(X\cdot g=r\) 이라 하자.
\(|dr/ds|=1\)이라 하면 \(S=\int_0^r |r'(s)|\cdot ds\)로 호의 길이가 된다.

이때, \(T :=dr/ds\)이고, T를 접벡터(tangent vector) 라 한다.
\(|T|=|dr/ds|=1\)이므로 \(1 = |T|^2 = T \cdot T\)이고, 양변을 \(s\)로 미분하면
\[0 = 2\bold{T' \cdot T}\]이다.

이는 곧 \(\bold{T}\) 가 \(\bold{T'}\)과 수직이라는 얘기이다.

한편, \[ N := {T' \over T} = {{dT \over ds} \over {| {dT \over ds}|}}\]
일 때, N을 법벡터(normal vector) 라 한다.
\(|N|=1\)이므로 \(1 = |N|^2 = N \cdot N\)이고, 양변을 s로 미분하면
\[0=2\bold{N' \cdot N }\]
즉, \(\bold{N}\) 가 \(\bold{N'}\)과 수직이라는 얘기이다.

미적분학1+ 책을 참고하면 이 때 곡률벡터 \(\vec{\kappa}\)가 'T의 호의 길이에 대한 변화율'로 정의되며 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[\vec{\kappa} := dT/ds \].

이 때 \[\kappa = |{dT \over ds}| \]
\(\therefore \) 양변을 s로 미분하면 \(\)
\[T' = |T'| \cdot N = |{dT \over ds}|N = \kappa N\]

이제, 이중법벡터(binormal vector) B 가 다음과 같이 정의된다.
\[\bold{B} := \bold{T} \times \bold{N}\]
\(\bold{T}\)와 \(\bold{T'}\)가 수직이고 \(\bold{T'}\)과 \(\bold{N}\)이 나란하므로 \(\bold{T}\)와 \(\bold{N}\)은 수직이다.
따라서 \(\bold{B}\), \(\bold{T}\), \(\bold{N}\)은 서로 쌍으로 수직이다.
즉, \(\bold{B}\),\(\bold{T}\)가 이루는 평면은 \(\bold{T}\)과 수직인 벡터들이 이루는 평면이다. 또, \(\bold{T}\)은 \(\bold{T}\)과 수직인 \(\bold{T}\)와 \(\bold{T}\)로 이루어진 평면에 포함된다.

이 때, \(\bold{N'}\)은 \(\bold{B}\)와 \(\bold{T}\)의 일차결합 \(\bold{N'} = n_1 \bold{B} + n_2 \bold{T}\)로 표현된다.
한편, \(\bold{B = T \times N}\)에서 \[\bold{B'}= {d \bold{B} \over ds} = \bold{T'} \times \bold{N} + \bold{T} \times \bold {N'}=\bold{T} \times \bold {N'}\]
따라서 \[\bold{B'} = \bold{T} \times (n_1 \bold{B} + n_2 \bold {T}) = n_1 \bold {T} \times \bold{B} = -n_1 \bold{N}\]이고,

\[|\bold{B'}|=|n_1 \bold{N}|=|n_1|\] 이 때 \(n_1\)은 \(\bold{B'}\)의 크기인 \(\bold{\tau}\) (torsion) 으로 정의된다. (아직 안끝났다)

즉, \(\bold{B'}=-\tau \bold{N}\)이고, \(\bold{T}\)
\[ \bold{T'}=(\bold{N \times B})' = \bold{N'} \times \bold{B}+ \bold{N} \times \bold{B'} = \bold{N'} \times \bold{NB} + \bold{N} \times \bold{-TN} = \bold{N'} \times \bold{B}\]

여기에\(\bold{N'} = n_1 \bold{B} + n_2 \bold{T}\)를 대입하면
\[ \bold{T'} =(n_1 \bold{B} + n_2 \bold{T}) \times \bold{B} = n_2 \bold{T} \times \bold{B} = n_2 \bold{N}\]
한편, \(\bold{T'}=\kappa\bold{N}\)이므로 \(n_2=-\kappa\)
\(\therefore \bold{N'} = \tau \bold{B} - \kappa \bold{T}\)이고, 이로부터 \[\bold{T'} = {d\bold{T} \over ds} = \kappa \bold{N}\] \[\bold{B'} = {d\bold{B} \over ds} = -\tau \bold{N}\] \[\bold{N'} = {d\bold{N} \over ds} = \tau \bold{B} - \kappa \bold{T}\]임을 알 수 있다. (Frenet-Seret Formulas)

이제 임의의 점 \(s=\alpha\)에서 곡선 \(r(s)\)의 테일러 전개는 \[r(s)=r(α)+r'(α) s+1/2 r'' (α) \cdot s^2+o(s^2 ) = r(α) + T(α) \cdot s+{1 \over2} T'(α) \cdot s^2+o(s^2 )\]이고, 미적분학 1+의 정의에 따르면 \(r(\alpha)\)를 지나고, T와 N의 일차결합으로 이어진 평면 r(α)+aT(α)+βN(α)은 접촉평면이다.
따라서

접촉평면은 기하학적으로 곡선에 가장 가까운 평면이다.
라는 책의 명제를 증명하였다.