[혼돈 이론 #1] 매핑이란? Logistic Map과 Bifurcation에 대해서

n+1번째 상태가 n번째 상태에 어떻게 의존하는가에 관심을 가져보려고 한다.
즉, \( x_{n+1} = f(x_n )\) 꼴의 관계식을 조사해보려고 하는 것이다. 비선형 운동을 설명하는 데 사용되는 이러한 관계식을 매핑(mapping) 이라고 한다.

매핑의 예시로는 인구의 증감, 저수지 속 물고기의 생식 증가, 우주선이 대기 중에 돌입할 때 그 표면의 온도 등이 있다. 다양한 현상을 모델링하는데 유용하게 쓰일 수 있다.

이러한 매핑을 방정식을 통해 수학적으로 논의해보자. 함수 \(f(α,x_n)\)을 써서 계차 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.\[x_{n+1}=f(x_{n})\]

여기서 \(x_{n}∈(0,1)\)내의 실수로 제한되고, \(α\)는 모형에 무관한 매개변수이다. 함수 \(f\)는 \(x_{n}\)으로부터 \(x_{n+1}\)을 산출하며, 산출된 점의 모임을 함수 자체의 맵(map) 이라고 한다.

로지스틱 방정식이란

가장 대표적인 매핑의 예시 중 하나인 1차원 방정식, 로지스틱(logistic) 방정식 을 통해 매핑의 과정을 이해해보자.
다음과 같은 단순한 꼴이 바로 로지스틱 방정식이다.\[f(α,x)=αx(1-x)\]

이를 수열의 꼴로 다시 작성하면,

\[x_{n+1} = α x_{n} (1-x_{n})\]

로 주어진다.

( 수식적으로 위 수열을 이해해볼 때, 초기 조건에 해당하는 \(x_{1}\)∉[0,1] 일 때 음수가 되지만 α≥0, \(x_{1}\)∈[0,1]만 신경 써보도록 하자. )

로지스틱 맵 Logistic Map

위와 같은 로지스틱 방정식의 결과를 그래픽 방법으로 그린 것이 바로 로지스틱 맵(logistic map) 이다.

과정을 쉽게 진행하기 위해 \(x_{n+1}\) = \(x_{n}\) 그래프를 좌표축에 추가한다. x_1으로부터 출발하여 곡선에 첫 번째 부딪힌 다음에 수평으로 움직이고 45°선(y=x 꼴로 이해하면 쉽다) 과 만난 뒤 \(x_{2}\)를 얻고, 다시 수직으로 올라가서 \(x_{3}\)를 찾게 된다. 이 되풀이 과정을 계속하여 아래와 같은 결과(1)를 얻게 되는 것이다.

위의 과정에서는 방정식에서의 매개변수를 α=2일 때로 한정 지어 생각했다. 하지만, 이러한 매개변수 값이 변할 때의 계의 움직임에 대해서도 알아보면 매우 흥미로운 현상을 발견할 수 있다.

미리 결과를 적어보자면, α의 값이 변함으로써 수렴값의 개수가 달라지게 된다. 몇 개의 예시를 통해서 이 광경을 확인해보자.

α값이 2.0일 때와 3.1일 때의 logistic map을 그려보았다.

위의 그림 2처럼 α가 3.0보다 작을 때는 수렴하는 해가 안정적으로 나타난다. 사각형 나선 궤도를 따라 중앙의 마지막 점에 도달하는 양상이다.
그러나 그림 3과 같이 α가 3.0 바로 위의 값을 가지게 되면 한 개 이상의 해가 나타나게 된다. 사각형 나선과 유사한 궤도를 나타내는데 한 점이 아닌 2개 점으로 수렴하게 된다.

밑의 사진은 위 예시를 그린 python 코드(그림 4)이다. (위 예시에서 되풀이는 100번 진행하였다.)
더 많은 조건에 대한 로지스틱 맵의 형태는 아래의 링크를 통해 참고하자.
https://www.wolframcloud.com/objects/demonstrations/TheLogisticDifferenceEquation-source.nb

Logistic 방정식의 Bifurcation Diagram

이처럼, α 같은 매개변수 값이 변함으로써 해의 수가 달라지는 것을 쌍갈림 (bifurcation) 이라고 한다.

전체적인 매개변수의 변동에 의한 광경은 bifucation diagram 을 통해 얻을 수 있다. 이때, 초기값(위의 코드를 참고하면, \(x_{0}\) 값) 에 의한 효과를 없애기 위해 많은 되풀이를 한 후 결정된 \(x_{n}\)으로 그래프를 그리게 된다.

위의 그림이 바로 logistic 방정식의 map에 대한 bifurcation diagram이다. α값이 2.5에서부터 4.0일 때의 함수로 그려진 그림이라 할 수 있다.

logistic map에 대한 예시 중, α값이 3.1일 때를 떠올려보자. 그림 2에서처럼 x값을 몇 번 되풀이하면 0.558과 0.765 사이에서 진동하게 된다. 즉, \(x_{N+2} = x_{N}\) 가 만족되어 2 사이클만에 돌아오기 때문에, 해의 값이 두개로 수렴하게 된다. 위의 그림 5에서도 이러한 형태를 관찰할 수 있다.

또한, α값이 3.45 부근에서는 2사이클의 bifurcation이 4사이클로 발전하고, 그 이후로부턴 이러한 현상이 계속되어 α=3.57 부근에선 무한 사이클까지 가게 된다.

이때 카오스적 현상을 관찰할 수 있게 되는 것이다. 3.57에서 4.0 사이의 많은 α 값에 대해 혼돈이 나타나지만, α=3.84 부근에서는 또 주기 운동이 나타나기도 한다.

매개변수의 값의 변화에 의해 혼동 운동이 일어나기도 하고, 일어나지 않기도 하는 것을 logistic map의 bifurcation diagram을 통해 보았다. 혼돈의 특성은 무엇이며 이를 어떻게 확인할 수 있는지는 다음 게시물에서 다루도록 하자.

참고문헌

[1] Stephen T.Thornton & Jerry B. Marion, “4.7 Mapping,” in Classical dynamics of particles and systems, 5th ed., Seoul, Korea: Cengage Learning Korea Ltd., 2012, pp. 183-188.

[2] Cyrille Rossant. (2021, May 31). 12.1. Plotting the bifurcation diagram of a chaotic dynamical system [Online]. Available:https://ipython-books.github.io/121-plotting-the-bifurcation-diagram-of-a-chaotic-dynamical-system/