역학계와 회로계 - 물리량의 대응
물리학을 딱 '두'가지로 나누라고 하면, 물론 그러기에는 너무나도 다양한 분야가 존재하지만 딱 두가지라면, '역학'과 '전자기학'이 될 것 같다. 역학계와 회로계(동전기학)은 얼마나 닮았을까? 역학과 전자기학에서의 대응되는 물리량을 쭉 나열해보며, 대칭적인 구조를 표를 통해 분석해 보자.
1.기본적인 물리량
역학계(질점역학)에서는 입자의 시간에 따른 위치 변화를 주로 다루고, 회로계에서는 시간에 따른 전하량의 함수를 주로 다루게 된다. 물론 속도-전류가 메인 물리량이 될 것이다. 특히 공학적 관점에서 접근해 본다면, '일'이 중요할 것이다. 위 표에는 없는데, \(W=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{s}\) 는 '일'을 의미한다. \(W=QV\) 역시 일에 대한 식인데, 상응되는 물리량이 같은 의미의 식을 이루는 것을 알 수 있다. 이러한 기본적인 물리량들을 통해서 조금 더 복잡한 물리량들이 완벽하게 대칭을 이루고 있다는 것을 알 수 있다. 또한, 회로계 역시 '전자'라는 입자의 이동에 대한 것을 다루고 있기 때문에 대칭적 구조가 매우 아름답게 발견된다.
'일'의 측면에서 조금 더 들어가 보자면, '보존력' 측면에서도 완전히 동일한 설명을 할 수 있다. 정전기학, 즉 자기장의 변화가 없는 상황에서는 전기력이 보존력이다. 그 이유는 패러데이 법칙을 살펴보면 알 수 있다. \(\triangledown\times\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\)라는 식에서 자기장의 시간에 대한 변화율이 \(0\), 즉 자기장이 일정한 상황이라면 전기장의 curl이 \(0\)이 되기 때문에 이는 스토크스 정리에 의해 폐곡선 적분이 \(0\)이 된다. 따라서 제자리로 돌아왔을 때 한 일이 \(0\)이 됐다는 것을 알 수 있고, 회로계의 전기장 역시 보존력이라는 것을 알 수 있다. 조금 말이 길었는데, 단 7글자로 위 내용을 요약할 수 있다: '키르히호프 법칙'. 키르히호프 법칙은 다음과 같이 얘기한다. '제자리로 돌아왔을때 전위(퍼텐셜)차가 \(0\)이다'. 이는 정전기학에서 회로계가 '보존장'이기에 가능한 것이다. 그리고 이때의 전기장은 '회로 고리 모양'이 될 것이다. 역학계와 회로계에서 대응되는 기기(?)를 찾아보면 다음과 같다.
- 질량과 유도기 : \(m\)과 \(L\)
유도기는 전류가 지나가면 '전자기 유도'현상을 통해서 '유도 전류'를 생성하여 기존의 상태를 유지하려는 '관성'에 대한 개념을 가지고 있다. 질량 역시 마찬가지다.
- 탄성과 축전기 : \(k\)와 \(\frac{1}{C}\)
축전기는 역학계로 생각해보자면 '용수철'이다. 일종의 '탄성'을 가지고 있다. 전기가 들어오면 그거를 용수철이 쭈욱 수축되었다가 다시 그 탄성에너지를 뱉어내듯이 전기용량에 따라 저장했다가 반대방향으로 전류를 가동시키게 된다.
- 저항력과 저항 : \(c\)와 \(R\)
쓰는 문자부터 똑같다. 말그대로 '저항'이다. (주로)공기나 유체의 저항은 어떤 물체가 운동할때 대기 중/수중 에있는 공기 분자/물 분자들과 계속하여 충돌하면서 이것이 완전탄성충돌이 아니기 때문에 에너지를 계속 잃어가고, 속도를 감소시키는 역할을 한다. 이때 저항기의 저항도 마찬가지다. 전자들이 원자핵 사이사이를 지나갈 때 저항기의 특성에 따라, 물질의 특성에 따라서 전자들이 유동적으로 잘 이동할 수 없도록 방해하는 것이 저항이다. 그리고 저항은 주로 우리가 실제 쓰는 '전열기구'들이기 때문에, 회로계에서 배터리 다음으로 가장 중요한 부분이라고 할 수 있다. (물론 축전기, 유도기도 엄청 중요하다!)
2. 미분방정식과 각 계의 물리량
질점역학과 기본적인 회로계 동전기 역학에서는, '2계 상미분방정식'을 통해서 시간에 따른 위치/전하량에 대한 정보를 얻고 앞으로의 운동 상태에 대한 예측과 모델링이 최종목표라고 할 수 있다. 현재까지 주어진 정보들을 통해서 운동방정식을 풀어서 운동 상태에 대한 예측을 할 수 있게 되는 것이다. 거의 모든 분야의 물리학에서는 2계 미분방정식 이상의 고계 미분방정식이 등장하지 않는다. 왜냐하면, 적어도 고전역학에서는 거의 모든 식이 \(F=ma\)혹은 \(\overrightarrow{F}=\frac{\text{d}\overrightarrow{p}}{\text{d}t}\)에 대한 '운동방정식'을 해결해야 하기 때문에 가장 고계 미분 항인 '가속도'항과, 위치나 속도에 비례하거나 그와 관계된 힘들에 대한 연산을 통해서 2계 미분방정식을 해결하고, 운동에 대한 예측이 가능해진다.
진동: '감쇠진동'과 '강제진동'
기본적인 고전역학에서는 진동이 크게 두가지 형태가 존재한다. 일정하게 진동하는 '외력'의 유무로 나누어 보았을 때 크게 외력이 없다면 '감쇠'진동, 외력이 존재하면 '강제'진동하게 된다. 강제진동하는 것 역시 감쇠진동이 이루어지지만, 감쇠진동은 보통 지수함수의 스케일로 매우 빠르게 감쇠하여 그 효과가 얼마 지나지 않아 미세해 지기 때문에 원래 감쇠진동의 효과가 거의 미비한 상태인 '정상상태'(steady state)에 대한 분석과 공명에 대한 분석이 주로 이루어진다. 진동과 나머지 운동에 대한 역학계외 회로계의 대응은 '역학계와 회로계 - 운동의 대응' 편에서 각 분야에서 다루는 운동이 얼마나 닮아있는지 알아보겠다.