맥스웰-볼츠만 분포에서 속력의 대푯값 유도
맥스웰 볼츠만 분포는 이상 기체 입자들의 속력 분포를 나타낸 확률 분포로, 입자(분자)의 분율 \(f(v)\) 을 속력에 대한 식으로 나타내면 다음과 같다.
\[ f(v) = 4\pi \left( \cfrac{m}{2\pi k_{B}T} \right) ^{\frac{3}{2}} v^{2} \exp{}\left(-\frac{mv^2}{2k_{B}T} \right) \]
모든 입자의 속도를 각각 분석하는 것은 불가능에 가깝기 때문에, 이 분포를 활용하는데 있어 평균속력, 최빈속력, 근평균제곱(Root Mean Square)속력에 해당하는 \(\bar{v}, v_{\rm{mp}}, v_{\rm{rms}} \)를 이용한다. 적절한 계산으로 속력의 대푯값들을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[ \bar{v}=\sqrt{\cfrac{8RT}{\pi M}}, \ v_{\rm{mp}}=\sqrt{\cfrac{2RT}{M}}, \ v_{\rm{rms}}=\sqrt{\cfrac{3RT}{M}} \]
평균속력(\(\bar{v}\))의 유도
먼저 평균속력인 \( \bar{v} \)를 유도해보자. 평균속력은 다음과 같이 나타난다.
\[ \bar{v} = \int^{\infty}_{0}vf(v)dv=4\pi \left( \cfrac{M}{2\pi RT} \right) ^{\frac{3}{2}} \int^{\infty}_{0} v^{3} e^{-\frac{M}{2RT}v^2 } dv \]
부분적분을 활용하여 계산하면
\[\begin{aligned}\int^{\infty}_{0} v^{3} e^{-\frac{M}{2RT}v^2 } dv &= \left[ v^{2}-\cfrac{RT}{M}e^{-\frac{M}{2RT}v^{2}}\right]^{\infty}_{0}+\cfrac{RT}{M} \int^{\infty}_{0}2v e^{-\frac{M}{2RT}v^{2}}dv \\ &= \left[ v^{2}-\cfrac{RT}{M}e^{-\frac{M}{2RT}v^{2}} \right] ^{\infty}_{0} - \cfrac{2R^{2}T^{2}}{M^{2}} \left[ e^{-\frac{M}{2RT}v^{2}} \right]^{\infty}_{0} \\ &= \cfrac{2R^{2}T^{2}}{M^{2}} \ (\because{}\lim_{v\to\infty} v^{2}e^{-\frac{M}{2RT}v^{2}}dv=0 ) \end{aligned}\]
적분 결과를 구하려는 식에 대입하자.
\[\begin{aligned} \bar{v} &= 4\pi \left( \cfrac{M}{2\pi RT} \right) ^{\frac{3}{2}} \int^{\infty}_{0} v^{3} e^{-\frac{M}{2RT}v^2 } dv \\ &= 4 \pi \cfrac{M}{2\pi RT} \sqrt{ \cfrac{M}{2\pi RT}} \cfrac{2R^{2}T^{2}}{M^{2}} \\ &=\cfrac{4RT}{M}\sqrt{\cfrac{M}{2 \pi RT}} = \sqrt{\cfrac{8RT}{\pi M}} \end{aligned}\]
최빈속력(\(v_{\rm{mp}}\))의 유도
\( v_{ \rm{mp}} \) 의 경우 최빈 속력을 의미하며, 분포 그래프에서의 극댓점의 \(v\)값을 의미한다. 따라서 최빈 속력은 해당 속력에서의 미분계수가 \(0\)임을 통해 유도할 수 있다.
\[\begin{aligned} \cfrac{df(v_{\rm{mp}})}{dv} &= 4\pi \left( \cfrac{M}{2 \pi R T}\right)^{\frac{3}{2}} \left( 2ve^{-\frac{M}{2RT}v^{2}}-\cfrac{Mv^{3}}{RT} e^{-\frac{M}{2RT}v^{2}} \right) \\ &=4\pi \left( \cfrac{M}{2 \pi R T}\right)^{\frac{3}{2}} \left( 2v-\cfrac{Mv^{3}}{RT}\right) e^{-\frac{M}{2RT}v^{2}} = 0 \end{aligned}\]
이므로 이를 정리하면
\[ 2v_{\rm{mp}}=\cfrac{Mv_{\rm{mp}}^{3}}{RT} \]
\[v_{\rm{mp}}=\sqrt{\cfrac{2RT}{M}}\]
임을 알 수 있다.
근평균속력(\(v_{\rm{rms}}\))의 유도
마지막으로 근평균제곱속력 \(v_{\rm{rms}}\) 은 제곱의 평균에 제곱근을 씌운 것과 같으므로 다음 식으로 표현할 수 있다.
\[ v_{\rm{rms}}^2=\int^{\infty}_{0}v^{2}f(v)dv \ = 4\pi \left( \cfrac{M}{2\pi RT} \right) ^{\frac{3}{2}} \int^{\infty}_{0} v^{4} e^{-\frac{M}{2RT}v^2 } dv \]
\( \int^{\infty}_{0} v^{4} e^{-\frac{M}{2RT}v^2 } dv \) 를 구하기 위해 \(v^3\)과 \( ve^{-\frac{M}{2RT}v^2 } \)의 곱으로 생각하여 부분적분을 활용해 계산하면
\[ \int^{\infty}_{0} v^{4} e^{-\frac{M}{2RT}v^2 } dv = \left[ -\cfrac{RT}{M}v^{3} e^{-\frac{M}{2RT}v^{2}}\right]^{\infty}_{0}+\cfrac{3RT}{M} \int^{\infty}_{0}v^{2} e^{-\frac{M}{2RT}v^{2}}dv \]
위 식에서 \[ \left[ v^{3}-\cfrac{RT}{M}e^{-\frac{M} {2RT}v^{2}}\right]^{\infty}_{0} = 0\]이며, \(f(v)\)가 \(v>0\)에서의 확률밀도함수이므로 0에서 무한대까지의 적분값이 1임을 이용하면 \[\int^{\infty}_{0}v^{2} e^{-\frac{M}{2RT}v^{2}}dv \] 의 값을 알 수 있다. 따라서 \(f(v)\)가 확률밀도함수임을 먼저 유도해보자.
가우스 적분과 맥스웰 볼츠만 분포 함수의 적분
가우스 적분은 가우스 함수 \(f(x)=e^{-x^{2}}\)의 실수 전체 범위에서의 대한 정적분으로, 가우스 함수는 맥스웰 볼츠만 분포 함수의 exponential 항과 유사한 꼴을 가진다. 가우스 적분은 적분의 변수변환을 통해 다음과 같이 유도한다.
\[\left( \int^{\infty}_{\infty}e^{-x^{2}}dx\right)^{2}=\int^{\infty}_{\infty}e^{-x^{2}}dx\int^{\infty}_{\infty}e^{-y^{2}}dy=\int^{\infty}_{\infty}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy\]
이를 \(x=r \sin \theta, y=r\cos\theta\)인 극좌표계로 변수변환하면, 극좌표계의 야코비안(Jacobian)은 \(r\)이므로 \[\iint_{R^2}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy=\int^{2\pi}_{0}\int^{\infty}_{0}re^{-r^{2}}drd\theta\]이고, 적분하려는 함수가 \(\theta \)에 대해 독립이므로
\[=2\pi\int^{\infty}_{0}re^{-r^{2}}drd\theta=-2\pi \left[ \cfrac{1}{2}e^{-r^{2}} \right] ^{\infty}_{0}=\pi \]이고,
\[ \int^{\infty}_{0}e^{-x^{2}}dx=\cfrac{\sqrt{\pi}}{2}\]이다.
이를 이용하여 맥스웰 볼츠만 분포 함수의 적분을 알아보자. 부분적분을 이용하면
\[ \int^{\infty}_{0}v^{2}e^{-\frac{M}{2RT}v^2}dv=\cfrac{RT}{M}\int^{\infty}_{0}e^{-\frac{M}{2RT}v^2}dv \] 이고, \(\sqrt{\cfrac{M}{2RT}}v=x\) 라고 치환하면
\[ \int^{\infty}_{0}e^{-\frac{M}{2RT}v^2}dv=\sqrt{\cfrac{2RT}{M}}\int^{\infty}_{0}e^{-x^2}dx=\cfrac{\sqrt{\pi}}{2}\sqrt{\cfrac{2RT}{M}}=\sqrt{\cfrac{\pi RT}{2M}} \] 이므로
\[ \int^{\infty}_{0}v^{2}e^{-\frac{M}{2RT}v^2}dv=\cfrac{RT}{M}\sqrt{\cfrac{\pi RT}{2M}} \]이다.
다시 \(v_{\rm{rms}}\)의 유도로 돌아가서,
\[ v_{\rm{rms}}^2 = 4\pi \left( \cfrac{M}{2\pi RT} \right) ^{\frac{3}{2}} \int^{\infty}_{0} v^{4} e^{-\frac{M}{2RT}v^2 } dv \]이므로
\[ v_{\rm{rms}}^2 = 4\pi \cfrac{M}{2\pi RT} \sqrt{\cfrac{M}{2\pi RT}}\cfrac{3RT}{M}\cfrac{RT}{M}\sqrt{\cfrac{\pi RT}{2M}} \] 을 정리하면
\[ v_{\rm{rms}}^2 = \cfrac{3RT}{M} \]
따라서 \[ v_{\rm{rms}}=\sqrt{\cfrac{3RT}{M}}\]임을 알 수 있다. 이로써 맥스웰 볼츠만 분포에서의 평균 속력, 최빈 속력, 근평균제곱(RMS) 속력을 유도할 수 있다.
참고자료
https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%E2%80%93Boltzmann_distribution